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%      域
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%\chapter{域}
\section{基本概念}
	\begin{definition}{域(field)}{fubi}
		$(R,+,\times)$是一个环，若非零元对$\times$构成阿贝尔群（交换群），则称域。
	\end{definition}
\par
	\begin{definition}{有限域(finite filed 或 Galois field)}{fubi}
		包含有限个元素的域称为有限域或伽罗瓦域。
	\end{definition}
\par
\begin{definition}{有限域的阶(Order)}{fubi}
	有限域的元素个数称为它的阶(order)，如果一个有限域阶为$q$，通常这个有限域我们记为$GF(q)$。
\end{definition}
\par
	有限域最常见的例子是当 p 为素数时，整数对 p 取模就可以形成此有限域，$GF(p)$是一个素域。\par
	
	\begin{itemize}
		\item 取大质数$p$，则有限域中有$p$个有限元：$0,1,2,\ldots ,p-1$
		\item $GF(p)$上的加法为模$p$加法$a+b=c \pmod{p}$
		\item $GF(p)$上的乘法为模$p$乘法$a\times b=c\pmod{p}$
		\item $GF(p)$上的除法就是乘除数的乘法逆元$a\div b= c\pmod{p}$，即 $a\times b^{-1}=c\pmod{p}$
		\item $GF(p)$的乘法单位元为1，零元为0
		\item $GF(p)$域上满足交换律，结合律，分配律
	\end{itemize}
	
\begin{definition}{域特征(characteristic of field)}{fubi}
	对于域$F$，若其乘法群单位元为1，加法群单位元为0，若存在正整数$p$，是的$p$个1相加为0，那么满足这个条件的最小$p$称为域$F$的特征。
\end{definition}
可以证明,域的特征为0或素数。\par

\section{域上的多项式}
	域的概念产生于方程求解。
	\begin{definition}{域上的一元多项式}{fubi}
		F是域，若$a_0,a_1,\ldots,a_n \in F,a_n \neq 0$，则$f(x)=a_0 + a_1 x + \ldots +a_n x^n$为域F上的一元多项式或多项式，称n为该多项式的次数，记为deg \ f=n.若记$F[x]=\{a_0 + a_1 x + \ldots +a_n x^n \mid  a_0,a_1,\ldots,a_n \in F \}$，则F[x]构成环，称之为F上的一元多项式环或多项式环。
	\end{definition}

	\begin{definition}{整除，可约或不可约\cite{fan2003}}{fubi}
		若F上的多项式f(x)等于F上其他两个非零次多项式g(x),h(x)的乘积，即$f(x)=g(x)h(x)$，且deg \ g 和deg \ h均不为0，则称多项式f(x)是可约的，g(x),h(x)称为f(x)的因式或g(x),h(x)整除f(x)，记为$g(x) \mid f(x)$;否则称之为不可约，记为$g(x) \nmid f(x)$。
	\end{definition}
	\begin{theorem}{带余除法\cite{fan2003}}{fubi}
		若$f(x),g(x) \in F[x],g(x) \neq =$，则存在唯一的$q(x),r(x) \in F[x]$，使$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$，其中$deg\ r \le deg \ g$或$r(x)=0$。这里，称q(x)为g(x)除f(x)的商式，r(x)为g(x)除f(x)的余式。
	\end{theorem}
	
	\begin{definition}{最大公因式\cite{fan2003}}{fubi}
		若d(x)为f(x)和g(x)公因式，且d(x)能被f(x),g(x)任何一个公因式整除，则称d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式，记为gcd(f(x),g(x))或(f(x),g(x))。
	\end{definition}
	\begin{theorem}{最大公因式表示}{fubi}
		若d(x)为f(x)和g(x)公因式，且d(x)能被f(x),g(x)任何一个公因式整除，则称d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式，记为gcd(f(x),g(x))或(f(x),g(x))。
	\end{theorem}
	\begin{definition}{互素多项式\cite{fan2003}}{fubi}
		若$gcd(f(x),g(x)) =1 $，则称$f(x),g(x)$互素，记为$gcd(f(x),g(x)) =1$。
	\end{definition}
	\begin{theorem}{互素多项式性质\cite{fan2003}}{fubi}
		$gcd(f(x),g(x)) =1 \Leftrightarrow \exists u(x),v(x) \in F[x],u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 $.
	\end{theorem}
	\begin{theorem}{互素多项式性质\cite{fan2003}}{fubi}
		$gcd(f(x),g(x)) =1,f(x) \mid g(x)h(x) \Rightarrow f(x) \mid h(x) $.
	\end{theorem}
	
	\begin{theorem}{因式分解唯一定理}{fubi}
		设F是一个域，F上的任何一个次数大于等于1的多项式f(x)都可分解成F[x]中若干不可约多项式的乘积，若不考虑因式的次序，分解式唯一的。
	\end{theorem}

	\begin{definition}{多项式的根\cite{fan2003}}{fubi}
		$f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ \ldots + a_1 x +a_0 \in F[x]$，若$\alpha \in F$，使$f(\alpha)=a_n \alpha^n + a_{n-1} \alpha^{n-1}+ \ldots + a_1 \alpha +a_0 =\textbf{0}$,则称$\alpha$为f(x)在F中的根。
	\end{definition}
\section{同态和同构}
	\begin{definition}{同构、自同构}{fubi}
		设$F_1 , F_2$为域，$\delta : F_1 \rightarrow F_2$, 满足$\forall a,b \in F_1,\delta(a+b)=\delta (a)+ \delta (b),\delta(ab)=\delta(a)\delta(b)$，则称$\delta$为$F_1$到$F_2$的同构，若$F_1=F_2$，则称$\delta$自同构。
	\end{definition}

\section{域的代数扩张}
	\begin{definition}{扩域\cite{qing2018}}{fubi}
		设集合K'是域K集合的非空子集，如果对于域K的运算，K'可构成一个域，则K'叫作K的子域，K叫作域K'的扩域。
	\end{definition}

	\begin{definition}{素域}{fubi}
		不包含任何非平凡子域的域称为素域。
	\end{definition}
	
	\begin{definition}{添加S所得的域}{fubi}
		设K为域F的扩域，S为K的子集，K中所有包含$F \cup S$的子域的交，即由F与S生成的子域，称为F上添加S所得的域，记为F(S)。
	\end{definition}
	
	\begin{definition}{代数元和超越元}{fubi}
		设K为域F的扩域，$\alpha \in K$，若存在域上的非零多项式f(x)满足$f(\alpha)=0$，则称$\alpha$为F上的代数元，否则称$\alpha$为F上的超越元。K包含的F上的代数元的集合，称为F在K中的代数闭包，F上所有代数元的集合称为F的代数闭包，记为$\bar{F}$。
	\end{definition}

	\begin{definition}{代数闭域}{fubi}
		域K是自身的代数闭包，即K上多项式的根均在K中，则称K为代数闭域。
	\end{definition}

	\begin{definition}{扩张}{fubi}
		设K为域F的扩域，且$\alpha \in K, K=F(\alpha)$，则称K为F的单扩张。若$\alpha$为F上的代数元，则称K为F的单代数扩张；若$\alpha$为F上的超越元，则称K为F的单超越扩张。
	\end{definition}
	
	\begin{definition}{不可约多项式}{fubi}
		设K为域F的扩域，且$\alpha \in K$为F上的代数元，F[x]中以$\alpha$为根的不可约的首一多项式称为$\alpha$在F上的不可约多项式，记为Irr($\alpha$,F)，其次数称为$\alpha$在F上的次数，记为$deg \ (\alpha,F)$。
	\end{definition}

	\begin{definition}{等价扩张}{fubi}
		设$K_1 ,K_2$为域F的扩域，若存在$K_1,K_2$同构$\phi$，使得$\phi \mid _F =id_F$,则称$K_1,K_2$为F的等价扩张，称$\phi$为F同构，若$K_1 = K_2, \phi$为F自同构。
	\end{definition}

	\begin{definition}{代数扩张}{fubi}
		设K为域F的扩域，若K中的每个元素都是F上的代数元，则称K为F的代数扩张。
	\end{definition}
	
	\begin{definition}{有限扩张，维数}{fubi}
		设K为域F的扩域，K作为F上的线性空间是有限维的，则称K为F的有限扩张，该维数称为K在F上的维数，记为$[K:F]$；若K作为F上的线性空间是无限维的，则称K为F的无限扩张。
	\end{definition}
